De garagepoortvergelijking

De garagepoortvergelijking

Stel je hebt een garagepoort van hoogte \( d \) en je bekijkt deze in zijaanzicht zoals in Figuur 1. De poort bestaat uit een onbuigbaar oppervlak en bij openen of sluiten beweegt de onderkant van de poort zich verticaal en beweegt de bovenkant zich horizontaal. Wanneer de garagepoort volledig gesloten is, dan maakt deze een hoek \( \theta = 0 \) met de voorgevel (links) van de garage. Wanneer de poort volledig open is, dan maakt deze een hoek \( \theta = \pi/2 \), of dus \( 90^{\circ} \), met de voorgevel.

Figuur 1

Doe de garagepoort dicht en vul nu de garage volledig met schuim. Doe daarna de garagepoort volledig open. Het schuim is dan ingedrukt door de poort en krijgt een gekromd oppervlak. Stel dat het schuim zo blijft staan, wat is dan de vorm van dit gekromd oppervlak, gezien in zijaanzicht zoals in Figuur 2?

Figuur 2

De wiskunde schiet te hulp met de nodige tools om deze vraag te beantwoorden. We maken gebruik van (partiële) afgeleiden en driehoeksmeetkunde. We zoeken een functie \( h : [0, d] \to [0, d] : z \mapsto h(z) \) die de hoogte berekent van het schuim, loodrecht omhoog gemeten vanaf een punt in de garage op een afstand \( z \) van de voorgevel.

We definiëren eerst een hulpfunctie \( f : \mathbb{R} \times [0, \pi/2] \to \mathbb{R} \), die de hoogte aangeeft vanaf de grond op punt \( x \), loodrecht omhoog tot aan de garagepoort, of dus het ingedrukte schuim.

Figuur 3

Neem nu de hoek \( \theta \) vast zoals in Figuur 3, dan hebben we volgende 2 randvoorwaarden voor de functie \( f \):

\( \begin{align}
f(0,\theta)
&= d – d \cos(\theta)
= d (1 – \cos(\theta)) \\
\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial x}
&= \frac{d \cos(\theta)}{d\sin(\theta)}
= \frac{1}{\tan(\theta)}.
\end{align} \)

De eerste voorwaarde zegt dat de hoogte \( f(0,\theta) \) van het onderste punt van de garagepoort gelijk is aan de hoogte \( d \) van de poort, min de afstand van datzelfde onderste punt van de poort tot de bovenkant van de voorgevel (zie Figuur 2).
De tweede voorwaarde beschrijft de helling van de poort voor de hoek \( \theta \) en is dus de partiêle afgeleide van \( f(x,\theta) \) naar \( x \). Deze helling is gelijk aan de loodrechte hoogte gedeeld door de horizontale afstand (zie Figuur 2).
We vinden nu het functievoorschrift van \( f \) dat samenvalt met een rechte van helling \( \frac{1}{\tan(\theta)}\) die door het punt \( (0, f(0,\theta)) \) gaat, namelijk:

\( f(x,\theta)
= \frac{\partial f(x,\theta)}{\partial x} x + f(0,\theta)
= \frac{x}{\tan(\theta)} + d (1 – \cos(\theta)) \).

De waarde \( f(x,\theta) \) beschrijft de loodrechte hoogte van de poort boven het punt \( x \) in Figuur 3, voor een vaste hoek \( \theta \). Neem nu het punt \( x \) vast en laat de hoek \( \theta \) variëren door de poort te openen en te sluiten.
Wanneer we de poort op deze manier bewegen, dan zal de afstand vanaf de grond loodrecht omhoog tot aan de poort boven het vaste punt \( x \), ook variêren. Voor een bepaalde hoek \( \alpha \) zal deze afstand echter minimaal worden. We gaan nu op zoek naar deze hoek \( \alpha \).

Wanneer we de minima (of maxima) zoeken van een functie, de extrema dus, dan weten we dat de afgeleide daar gelijk is aan \( 0 \). We berekenen dus nu de partiële afgeleide naar \( \theta \) en stellen die vervolgens gelijk aan \( 0 \) om op die manier de hoek \( \alpha \) te vinden. Merk op dat deze hoek \( \alpha \) afhangt van de keuze van het punt \( x \). We zien dat

\( \frac{\partial f(x,\theta)}{\partial \theta} = x \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\tan(\theta)} \right) + d \sin(\theta) \)

waarbij

\( \begin{align}
\frac{\partial}{\partial \theta} \frac{1}{\tan(\theta)}
&= \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right)
= -\sin(\theta) \left( \frac{1}{\sin(\theta)} \right) + \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\sin(\theta)} \right) \\
&= -1 + \cos(\theta) \left[ \cos(\theta) \frac{-1}{(\sin(\theta))^2} \right]
= (-1) \left[ 1 + \frac{( \cos(\theta) )^2}{(\sin(\theta))^2} \right]
\end{align} \)

zodat

\( \frac{\partial f(x,\theta)}{\partial \theta}
= (-x) \left[ 1 + \left( \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \right)^2 \right] + d \sin(\theta) \).

Als we deze afgeleide nu gelijk stellen aan \( 0 \), dan vinden we de hoek \( \alpha \) die daaraan voldoet en die hoort bij het eerder gekozen punt \( x \):

\( \begin{align}
&& 0
&= (-x) \left[ 1 + \left( \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right)^2 \right] + d \sin(\alpha) \\
&\Rightarrow& \frac{d \sin(\alpha)}{x}
&= \left( \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right)^2 + 1 \\
&\Rightarrow& \frac{d}{x} (\sin(\alpha))^3
&= (\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1 \\
&\Rightarrow& (\sin(\alpha))^3
&= \frac{x}{d} \\
&\Rightarrow& \sin(\alpha)
&= \left( \frac{x}{d} \right)^\frac{1}{3}
\end{align} \)

Anderzijds hebben we ook het volgende:

\( \begin{align}
&& \frac{d \sin(\alpha)}{x}
&= \left( \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \right)^2 + 1 \\
&\Rightarrow& \frac{d \sin(\alpha)}{x} -1
&= \left( \frac{1}{\tan(\alpha)} \right)^2 \\
&\Rightarrow& \sqrt{\frac{d \sin(\alpha)}{x} -1}
&= \frac{1}{\tan(\alpha)}.
\end{align} \)

We vinden dus dat

\( \begin{align}
f(x,\alpha)
&= \frac{x}{\tan(\alpha)} + d (1 – \cos(\alpha)) \\
&= \frac{x}{\tan(\alpha)} + d -d \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \\
&= (x -d \sin(\alpha)) \frac{1}{\tan(\alpha)} + d \\
&= \left( x -d \left( \frac{x}{d} \right)^\frac{1}{3} \right) \sqrt{\frac{d \sin(\alpha)}{x} -1} + d \\
&= \left( x -d \left( \frac{x}{d} \right)^\frac{1}{3} \right) \sqrt{\frac{d}{x} \left( \frac{x}{d} \right)^\frac{1}{3} -1} + d \\
&= \left( x -d \left( \frac{x}{d} \right)^\frac{1}{3} \right) \sqrt{ \left( \frac{d}{x} \right)^\frac{2}{3} -1} + d.
\end{align} \)

Hiermee hebben we het functievoorschrift gevonden van de functie \( h \), namelijk de “garagepoortvergelijking”:

\( h(z) = f(z,\alpha)= \left( z -d \left( \frac{z}{d} \right)^\frac{1}{3} \right) \sqrt{ \left( \frac{d}{z} \right)^\frac{2}{3} -1} + d \).

Figuur 4

De grafiek van \( h \) in Figuur 4 geeft ons nu de gezochte vorm van het schuim.

Leave a Reply

Your email address will not be published.